π是一個無數人追隨的真正的神奇數字。我不是很清楚一個永遠重復的無理數的迷人之處。在我看來，我樂于計算π，也就是計算π的值。因為π是一個無理數，它是無限的。這就意味著任何對π的計算都僅僅是個近似值。如果你計算100位，我可以計算101位并且更精確。迄今為止，有些人已經選拔出超級計算機來試圖計算最精確的π。一些極值包括 計算π的5億位。你甚至能從網上找到包含 π的一百億位的文本文件（注意啦！下載這個文件可能得花一會兒時間，并且沒法用你平時使用的記事本應用程序打開。）。對于我而言，如何用幾行簡單的Python來計算π才是我的興趣所在。
你總是可以 使用 math.pi 變量的 。它被 包含在 標準庫中， 在你試圖自己 計算它之前，你應該去使用它 。 事實上 ， 我們將 用它來計算 精度 。作為 開始， 讓我們看 一個 非常直截了當的 計算Pi的 方法 。像往常一樣，我將使用Python 2.7，同樣的想法和代碼可能應用于不同的版本。我們將要使用的大部分算法來自Pi WikiPedia page并加以實現。讓我們看看下面的代碼：
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importsysimportmath defmain(argv): iflen(argv) !=1: sys.exit('Usage: calc_pi.py <n>') print'\nComputing Pi v.01\n' a=1.0 b=1.0/math.sqrt(2) t=1.0/4.0 p=1.0 foriinrange(int(sys.argv[1])): at=(a+b)/2 bt=math.sqrt(a*b) tt=t-p*(a-at)**2 pt=2*p a=at;b=bt;t=tt;p=pt my_pi=(a+b)**2/(4*t) accuracy=100*(math.pi-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately: "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if__name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) |
這是個非常簡單的腳本，你可以下載，運行，修改，和隨意分享給別人。你能夠看到類似下面的輸出結果：
你會發現，盡管 n 大于4 ,我們逼近 Pi 精度卻沒有多大的提升。 我們可以猜到即使 n的值更大，同樣的事情（pi的逼近精度沒有提升）依舊會發生。幸運的是，有不止一種方法來揭開這個謎。使用 Python Decimal （十進制）庫，我們可以就可以得到更高精度的值來逼近Pi。讓我們來看看庫函數是如何使用的。這個簡化的版本，可以得到多于11位的數字 通常情況小Python 浮點數給出的精度。下面是Python Decimal 庫中的一個例子 ：
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wpid-python_decimal_example-2013-05-28-12-54.png |
看到這些數字。不對！ 我們輸入的僅是 3.14，為什么我們得到了一些垃圾(junk)？ 這是內存垃圾(memory junk)。 簡單點說，Python給你你想要的十進制數，再加上一點點額外的值。 只要精度小于垃圾數，它不會影響任何計算。通過設置getcontext().prec 你可以的到你想要的位數 。我們試試。
看到這些數字。不對！ 我們輸入的僅是 3.14，為什么我們得到了一些垃圾(junk)？ 這是內存垃圾(memory junk)。 簡單點說，Python給你你想要的十進制數，再加上一點點額外的值。 只要精度小于垃圾數，它不會影響任何計算。通過設置getcontext().prec 你可以的到你想要的位數 。我們試試。
很好。 現在讓我們 試著用這個 來 看看我們是否能 與我們以前的 代碼 有更好的 逼近 。 現在， 我通常 是反對 使用“ from library import * ” ， 但在這種情況下， 它會 使代碼 看起來更漂亮 。
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importsysimportmathfromdecimalimport* defmain(argv): iflen(argv) !=1: sys.exit('Usage: calc_pi.py <n>') print'\nComputing Pi v.01\n' a=Decimal(1.0) b=Decimal(1.0/math.sqrt(2)) t=Decimal(1.0)/Decimal(4.0) p=Decimal(1.0) foriinrange(int(sys.argv[1])): at=Decimal((a+b)/2) bt=Decimal(math.sqrt(a*b)) tt=Decimal(t-p*(a-at)**2) pt=Decimal(2*p) a=at;b=bt;t=tt;p=pt my_pi=(a+b)**2/(4*t) accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately: "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if__name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) |
輸出結果:
好了。我們更準確了，但看起來似乎有一些舍入。從n = 100和n = 1000，我們有相同的精度。現在怎么辦？好吧，現在我們來求助于公式。到目前為止，我們計算Pi的方式是通過對幾部分加在一起。我從DAN 的關于Calculating Pi 的文章中發現一些代碼。他建議我們用以下3個公式：
Bailey–Borwein–Plouffe 公式
Bellard的公式
Chudnovsky 算法
讓我們從Bailey–Borwein–Plouffe 公式開始。它看起來是這個樣子：
在代碼中我們可以這樣編寫它：
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import sysimport mathfrom decimal import * def bbp(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(1)/(16**k))*((Decimal(4)/(8*k+1))-(Decimal(2)/(8*k+4))-(Decimal(1)/(8*k+5))-(Decimal(1)/(8*k+6))) k+=1 return pi def main(argv): if len(argv) !=2: sys.exit('Usage: BaileyBorweinPlouffe.py <prec> <n>') getcontext().prec=(int(sys.argv[1])) my_pi=bbp(int(sys.argv[2])) accuracy=100*(Decimal(math.pi)-my_pi)/my_pi print"Pi is approximately "+str(my_pi) print"Accuracy with math.pi: "+str(accuracy) if __name__=="__main__": main(sys.argv[1:]) |
拋開“ 包裝”的代碼，BBP（N）的功能是你真正想要的。你給它越大的N和給 getcontext().prec 設置越大的值，你就會使計算越精確。讓我們看看一些代碼結果：
這有許多數字位。你可以看出，我們并沒有比以前更準確。所以我們需要前進到下一個公式，貝拉公式，希望能獲得更好的精度。它看起來像這樣：
我們將只改變我們的變換公式，其余的代碼將保持不變。點擊這里下載Python實現的貝拉公式。讓我們看一看bellards(n)：
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def bellard(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(-1)**k/(1024**k))*( Decimal(256)/(10*k+1)+Decimal(1)/(10*k+9)-Decimal(64)/(10*k+3)-Decimal(32)/(4*k+1)-Decimal(4)/(10*k+5)-Decimal(4)/(10*k+7)-Decimal(1)/(4*k+3)) k+=1 pi=pi*1/(2**6) return pi |
哦，不，我們得到的是同樣的精度。好吧，讓我們試試第三個公式， Chudnovsky 算法，它看起來是這個樣子：
再一次，讓我們看一下這個計算公式（假設我們有一個階乘公式）。 點擊這里可下載用 python 實現的 Chudnovsky 公式。
下面是程序和輸出結果：
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def chudnovsky(n): pi=Decimal(0) k=0 while k < n: pi+=(Decimal(-1)**k)*(Decimal(factorial(6*k))/((factorial(k)**3)*(factorial(3*k)))*(13591409+545140134*k)/(640320**(3*k))) k+=1 pi=pi*Decimal(10005).sqrt()/4270934400 pi=pi**(-1) return pi |
所以我們有了什么結論？花哨的算法不會使機器浮點世界達到更高標準。我真的很期待能有一個比我們用求和公式時所能得到的更好的精度。我猜那是過分的要求。如果你真的需要用PI，就只需使用math.pi變量了。然而，作為樂趣和測試你的計算機真的能有多快，你總是可以嘗試第一個計算出Pi的百萬位或者更多位是幾。
