引子
- 向量刻畫的是線性空間中的對(duì)象。
- 矩陣刻畫的是向量在線性空間中的運(yùn)動(dòng)（變換，躍遷），相似矩陣本質(zhì)上就是同一個(gè)線性變換的不同的描述。
- 在一個(gè)線性空間中，選定了一組基，對(duì)于任何一個(gè)線性變化都可以用一個(gè)確定的矩陣來(lái)描述
- 矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述，作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。
- 當(dāng)我們談到向量時(shí)，一定要指定它所在的坐標(biāo)系才有意義，比如向量b=(1,2,3)實(shí)際上指的是在單位坐標(biāo)系I下有一個(gè)向量的度量為b。
- 就可以理解Ma=b就可以看成Ma=Ib，就是說(shuō)在坐標(biāo)系M中度量出來(lái)的向量a和在坐標(biāo)系I里面度量出來(lái)的b實(shí)際上就是同一個(gè)向量。
- 對(duì)于矩陣而言，他表示出來(lái)的那個(gè)坐標(biāo)系也是由一組基（向量）組成的，同樣存在這組基實(shí)在哪個(gè)坐標(biāo)系下度量的問(wèn)題。對(duì)于矩陣M，將其理解成IM，即M中的那組向量是在I坐標(biāo)系中得出的。
- MxN本質(zhì)是聲明了一個(gè)在M坐標(biāo)系中量出的另一個(gè)坐標(biāo)系N，其中M本身是在I坐標(biāo)系中度量出來(lái)的。
- 對(duì)坐標(biāo)系施加變換的方法，就是讓表示那個(gè)坐標(biāo)系的矩陣與表示那個(gè)變化的矩陣相乘。
因此我們來(lái)理解這樣一個(gè)式子，ACb,AC為矩陣，b為一個(gè)向量
- b是一個(gè)向量，他是在I坐標(biāo)系下度量的，a = Cb也就是在I坐標(biāo)系下將向量b變換到向量b，d=ACb=Aa的含義就是繼續(xù)在I坐標(biāo)系下將向量a變換到向量d。即在同一個(gè)坐標(biāo)系I下面進(jìn)行了兩次變換操作。
- 另一種理解方式是ACb=IACb，那么IAC三個(gè)矩陣相乘就表示了坐標(biāo)系的變換，在I坐標(biāo)系中度量處新的坐標(biāo)系IA，再在IA坐標(biāo)系下度量出IAC，然后這里最終的坐標(biāo)系中的向量b和在1中在I坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)兩次變換得到的向量是同一個(gè)向量。
上面的兩種理解方式也揭示了對(duì)向量的變換和對(duì)坐標(biāo)系的變換是等價(jià)的，這一點(diǎn)也可以通過(guò)后面旋轉(zhuǎn)變換的圖示中看出來(lái)。
各種變換
平移矩陣
縮放矩陣
平移矩陣和縮放矩陣很容易理解，并且從矩陣形式我們也可以看到為什么用四維的向量表示一個(gè)頂點(diǎn)了，除了w分量用來(lái)做透視除法以外，另一個(gè)作用不也正好是為了把平移整合進(jìn)來(lái)嗎，都做乘法而不做加法。在數(shù)學(xué)上也就是將三維空間的坐標(biāo)表示成其齊次形式.
旋轉(zhuǎn)變換
旋轉(zhuǎn)變換相對(duì)來(lái)說(shuō)較為復(fù)雜，對(duì)繞x、y或z軸旋轉(zhuǎn)的情況比較好理解。
以繞z軸旋轉(zhuǎn)為例
于是
寫成矩陣形式為
繞任意軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣為
同理，前面學(xué)到的正交投影矩陣，透視矩陣以及攝像機(jī)矩陣，本質(zhì)上和上面的變換都是一樣的。
前面可以看到一般傳入渲染管線的是一個(gè)由攝像機(jī)矩陣，投影矩陣，變換矩陣相乘得到的總的變換矩陣，
在頂點(diǎn)著色器中一般是這樣的形式
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1
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gl_Position = uMVPMatrix * vec4(aPosition,1); |
上面的代碼中的變量uMVPMatrix表示了模型（M）、視圖（V）、投影（P）三中變換綜合，
注意到矩陣乘法的順序，對(duì)每個(gè)點(diǎn)所做的變換是有順序的，對(duì)每個(gè)點(diǎn)先進(jìn)行模型變換（平移縮放旋轉(zhuǎn)）、再進(jìn)行視圖變換（攝像機(jī)視角）再進(jìn)行投影變換，這三個(gè)變換順序是不可變得，因?yàn)楦淖冺樞蜃罱K看到的效果都是不一樣的。
對(duì)每個(gè)點(diǎn)所做的綜合變換本質(zhì)上就是對(duì)這個(gè)點(diǎn)進(jìn)行矩陣相乘，然而就我們傳入的是最終的綜合變換矩陣而言，剛才的理解不是特別準(zhǔn)確，換個(gè)思路理解成綜合變換矩陣就是對(duì)坐標(biāo)系的變換會(huì)更好，因?yàn)楫吘刮覀兪且淮涡詫⑦@個(gè)相乘后的綜合矩陣傳進(jìn)去的。
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