定義
在計算機科學中，B樹（英語：B-tree）是一種自平衡的樹，能夠保持數據有序。這種數據結構能夠讓查找數據、順序訪問、插入數據及刪除的動作，都在對數時間內完成。
為什么要引入B樹?
首先，包括前面我們介紹的紅黑樹是將輸入存入內存的一種內部查找樹。
而B樹是前面平衡樹算法的擴展，它支持保存在磁盤或者網絡上的符號表進行外部查找，這些文件可能比我們以前考慮的輸入要大的多（難以存入內存）。
既然內容保存在磁盤中，那么自然會因為樹的深度過大而造成磁盤I/O讀寫過于頻繁（磁盤讀寫速率是有限制的），進而導致查詢效率低下。
那么降低樹的深度自然很重要了。因此，我們引入了B樹，多路查找樹。
特點
樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
所有葉子結點都出現在同一層(最底層)，葉子結點為外部結點，保存內容，即key和value。
其他結點為內部結點，保存索引，即key和next。
內部結點的關鍵字key：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
內容結點的指針next：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小于K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；
例如：（M=3）
查找和插入
為了方便這里用了一個特殊的哨兵鍵，它小于其他所有鍵，用*表示。
一開始B樹只含有一個根結點，而根結點在初始化時僅含有該哨兵鍵。
內部結點中的每個鍵都與一個結點相關聯，以此結點為根的子樹種，所有的鍵都大于等于與此結點關聯的鍵，但小于其他所有鍵。
這些約定在很大程度上能夠簡化代碼。
代碼
點擊下載。
該代碼實現引入了哨兵鍵，代碼輸出則剔除了它。
代碼里含有哨兵鍵的B樹（將圖片保存到本地查看，字會清晰些）：
代碼輸出的B樹（將圖片保存到本地查看，字會清晰些）：
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public class BTree<Key extends Comparable<Key>, Value> { // max children per B-tree node = M-1 // (must be even and greater than 2) private static final int M = 4; private Node root; // root of the B-tree private int height; // height of the B-tree private int n; // number of key-value pairs in the B-tree // helper B-tree node data type private static final class Node { private int m; // number of children private Entry[] children = new Entry[M]; // the array of children // create a node with k children private Node(int k) { m = k; } } // internal nodes: only use key and next // external nodes: only use key and value private static class Entry { private Comparable key; private Object val; private Node next; // helper field to iterate over array entries public Entry(Comparable key, Object val, Node next) { this.key = key; this.val = val; this.next = next; } } /** * Initializes an empty B-tree. */ public BTree() { root = new Node(0); } /** * Returns true if this symbol table is empty. * @return {@code true} if this symbol table is empty; {@code false} otherwise */ public boolean isEmpty() { return size() == 0; } /** * Returns the number of key-value pairs in this symbol table. * @return the number of key-value pairs in this symbol table */ public int size() { return n; } /** * Returns the height of this B-tree (for debugging). * * @return the height of this B-tree */ public int height() { return height; } /** * Returns the value associated with the given key. * * @param key the key * @return the value associated with the given key if the key is in the symbol table * and {@code null} if the key is not in the symbol table * @throws NullPointerException if {@code key} is {@code null} */ public Value get(Key key) { if (key == null) { throw new NullPointerException("key must not be null"); } return search(root, key, height); } @SuppressWarnings("unchecked") private Value search(Node x, Key key, int ht) { Entry[] children = x.children; // external node到最底層葉子結點，遍歷 if (ht == 0) { for (int j = 0; j < x.m; j++) { if (eq(key, children[j].key)) { return (Value) children[j].val; } } } // internal node遞歸查找next地址 else { for (int j = 0; j < x.m; j++) { if (j+1 == x.m || less(key, children[j+1].key)) { return search(children[j].next, key, ht-1); } } } return null; } /** * Inserts the key-value pair into the symbol table, overwriting the old value * with the new value if the key is already in the symbol table. * If the value is {@code null}, this effectively deletes the key from the symbol table. * * @param key the key * @param val the value * @throws NullPointerException if {@code key} is {@code null} */ public void put(Key key, Value val) { if (key == null) { throw new NullPointerException("key must not be null"); } Node u = insert(root, key, val, height); //分裂后生成的右結點 n++; if (u == null) { return; } // need to split root重組root Node t = new Node(2); t.children[0] = new Entry(root.children[0].key, null, root); t.children[1] = new Entry(u.children[0].key, null, u); root = t; height++; } private Node insert(Node h, Key key, Value val, int ht) { int j; Entry t = new Entry(key, val, null); // external node外部結點，也是葉子結點，在樹的最底層，存的是內容value if (ht == 0) { for (j = 0; j < h.m; j++) { if (less(key, h.children[j].key)) { break; } } } // internal node內部結點，存的是next地址 else { for (j = 0; j < h.m; j++) { if ((j+1 == h.m) || less(key, h.children[j+1].key)) { Node u = insert(h.children[j++].next, key, val, ht-1); if (u == null) { return null; } t.key = u.children[0].key; t.next = u; break; } } } for (int i = h.m; i > j; i--) { h.children[i] = h.children[i-1]; } h.children[j] = t; h.m++; if (h.m < M) { return null; } else { //分裂結點 return split(h); } } // split node in half private Node split(Node h) { Node t = new Node(M/2); h.m = M/2; for (int j = 0; j < M/2; j++) { t.children[j] = h.children[M/2+j]; } return t; } /** * Returns a string representation of this B-tree (for debugging). * * @return a string representation of this B-tree. */ public String toString() { return toString(root, height, "") + "\n"; } private String toString(Node h, int ht, String indent) { StringBuilder s = new StringBuilder(); Entry[] children = h.children; if (ht == 0) { for (int j = 0; j < h.m; j++) { s.append(indent + children[j].key + " " + children[j].val + "\n"); } } else { for (int j = 0; j < h.m; j++) { if (j > 0) { s.append(indent + "(" + children[j].key + ")\n"); } s.append(toString(children[j].next, ht-1, indent + " ")); } } return s.toString(); } // comparison functions - make Comparable instead of Key to avoid casts private boolean less(Comparable k1, Comparable k2) { return k1.compareTo(k2) < 0; } private boolean eq(Comparable k1, Comparable k2) { return k1.compareTo(k2) == 0; } /** * Unit tests the {@code BTree} data type. * * @param args the command-line arguments */ public static void main(String[] args) { BTree<String, String> st = new BTree<String, String>(); st.put("www.cs.princeton.edu", "128.112.136.12"); st.put("www.cs.princeton.edu", "128.112.136.11"); st.put("www.princeton.edu", "128.112.128.15"); st.put("www.yale.edu", "130.132.143.21"); st.put("www.simpsons.com", "209.052.165.60"); 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